ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73658
Темы:    [ Произведения и факториалы ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.


Решение

  Пусть  1!·3!·...·(2m – 1)! = (½ m(m + 1))!.
  Согласно постулату Бертрана между числами  2m – 1  и  2(2m – 1)  лежит простое число p.
  Предположим, что  2(2m – 1) < ½ m(m + 1).  Тогда правая часть уравнения делится на p, а левая – не делится. Противоречие.
  Следовательно,  4(2m – 1) ≥ m(m + 1).  Этому неравенству удовлетворяют только числа 1, 2, ..., 6. Непосредственной проверкой убеждаемся, что числа 1, 2, 3 и 4 удовлетворяют уравнению, а 5 и 6 – нет.


Ответ

1, 2, 3, 4.

Замечания

О постулате Бертрана можно прочесть в статьях М.И. Башмакова "О постулате Бертрана" и А. Коробова "Простые числа и постулат Бертрана".

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М123

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .