|
|
 |
Условие
Какое наибольшее число точек можно разместить
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать
на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно
точек.)
Решение
Докажем, что большее количество точек разместить нельзя.
Заметим прежде всего (это относится и к плоской, и к пространственной задаче),
что если Ai и Aj – какие-то две из n точек A1 , A2 , ... , An ,
удовлетворяющих условию задачи, то все эти точки должны принадлежать множеству
таких точек M , для которых одновременно MAi Aj
90o
и
MAj Ai
90o . Это множество– полоса между прямыми
(в пространстве– плоскостями), проходящими через точки Ai и Aj
и перпендикулярными к отрезку Ai Aj (рис.3); мы будем ниже обозначать
эту полосу через Πij .
Из этого замечания следует, что если рассмотреть выпуклую оболочку V данных
n точек– наименьший выпуклый многоугольник (многогранник), содержащий
все эти точки,– то все точки A1, A2, ..., An должны лежать на
границе множества V ; ни одна из них не может оказаться внутри V :
ведь V содержится в каждой из полос Πij .
Решение задачи а) получается теперь в два слова. В этом случае V –
выпуклый n -угольник с вершинами A1, A2, ..., An .
Сумма его углов равна 180o (n-2) , и если каждый из углов не больше
90o , то
откуда n
Решение задачи на плоскости прислали многие читатели. Пространственная задача
намного труднее, и полного доказательства мы не получили ни от кого из
читателей. Приведем решение, которое впервые нашли известные геометры Л.Данцер
и Б.Грюнбаум (1962 г.)
Рассмотрим, кроме многогранник V (здесь под V можно понимать или выпуклую
оболочку заданных n точек A1, A2, ..., An или пересечение– общую
часть– всех n(n-1)/2 полос Πij ) еще следующие многогранники:
Vi , получающиеся из V сдвигом на вектор
( i=1, 2, ..., n ; V1 , разумеется, совпадает с V ), и V' ,
получающийся из V растяжением (гомотетией) с коэффициентом 2 и центром
в точке A1 .
Докажем следующие три утверждения.
1o . Многогранник, получающийся из V сдвигом на вектор
, не имеет общих внутренних точек с V (т.е.
может пересекаться с V только на границе).
2o . Никакие два из многогранников V1, V2, ..., Vn не имеют
общих внутренних точек.
3o . Все Vi содержатся в V' .
Докажем 1o . При сдвиге на полоса Πij
переходит в новую полосу, которая не имеет с ней общих внутренних точек–
эти две полосы имеют только общую граничную плоскость. Но V содержится
в Πij , поэтому тем более верно 1o .
2o сразу следует из 1o достаточно заметить, что Vj
получается из Vi сдвигом на вектор (рис.4).
3o следует из более общего факта: если ABC – три точки выпуклого
многогранника, W и W' – многогранник, полученный из W растяжением
в 2 раза с центром я точке A , то четвертая вершина D параллелограмма
ABDC (т.е. точка, получающаяся из C сдвигом на вектор )
принадлежит W' . Этот факт доказывается легко: точка K , из которой при
растяжении получается D – середина отрезка AD – является одновременна
и серединой отрезка BC , поэтому она принадлежит W (ведь многогранник W
выпуклый), поэтому D принадлежит W' (рис.5).
Итак, утверждения 2o и 3o доказаны. Пусть v – объем
многогранника V . Тогда объем каждого из Vi тоже равен v , а объем
V' равен 8v . Из 2o и 3o , очевидно, следует, что
nv 8v , откуда n
8 .
Заметим, что попутно мы решили задачу, предлагавшуюся на XIII Международной
олимпиаде (см. "Квант" #12 за 1971 год, стр.54. задача2) видимо,
задачу M130 б) в полном объеме международное жюри сочло слишком
трудной для олимпиады и исключило только вторую ее половину.
В связи с доказанным утверждением возникает целый ряд вопросов, которые уже
не удается решить тем красивым, но довольно искусственным способом,
о котором мы рассказали. Например, какое наибольшее число точек в
пространстве можно разместить так, чтобы все углы треугольников с вершинами
в этих точках были острыми? Из нашего решения видно, что 8 точек
расположить нельзя (убедитесь в этом). Нетрудно построить пример, когда
точек 5 . Может ли их быть 6 ? Более общий и, вероятно, очень трудный
вопрос– какое наибольшее число точек можно расположить так, чтобы
все углы не превосходили данного α ?
Если кому-либо из читателей удастся продвинуться в решении этих вопросов,
мы вернемся к ним еще раз.
Ответ
Ответ: а) 4 точки, б) 8 точек. Примеры расположении такого количества
точек а) в вершинах квадрата: б) в вершинах куба.
