Задача 73672
|
|
 |
Условие
Пусть a, b, c,а) S ≤ ab + cd;
б) S ≤ ac + bd.
в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.
Решение
Поскольку для любого невыпуклого четырехугольника легко построить выпуклый четырехугольник со сторонами той же длины и имеющий большую площадь (рис. 1), то ясно, что достаточно доказать неравенства а), б) для выпуклого четырехугольника. Поэтому мы будем рассматривать только выпуклые четырехугольники.Итак, пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 2) AB=a , BC=b , CD=c , DA=d , площадь ABCD равна 5 . Площадь треугольника всегда не превышает половины произведения двух его сторон (рис. 3). Поэтому
Сложив эти неравенства, получим
Равенство здесь достигается в том случае, когда оно достигается одновременно в обоих неравенствах (1), т. е. в том и только в том случае, когда углы B и D — оба прямые. Разумеется, в этом случае четырехугольник ABCD можно вписать в окружность (причем диагональ AC является диаметром). Из сказанного выше следует также, что четырехугольник, для которого 2S=ab+cd , можно составить из отрезков a , b , c , d в том и только в том случае, если их длины удовлетворяют условию
Задача б) несколько труднее. Ее можно решить "в лоб", применяя различные формулы для площадей треугольников. Но есть и совсем простое геометрическое решение.
Разрежем четырехугольник, как и раньше, диагональю BD на два треугольника и один из них — скажем, треугольник BCD — "перевернем на обратную сторону" и снова приложим стороной BD к треугольнику BAD . Другими словами, заменим Δ BCD треугольником BC'D , симметричным ему относительно перпендикуляра, проходящего через середину отрезка BD (рис. 4). Ясно, что площадь четырехугольника S от этого не изменится. Но теперь мы можем воспользоваться результатом задачи а):
или
Рис. 137.3. SΔ ABC=hb/2
Равенство в (4) достигается, если у "перестроенного" четырехугольника ABC'D углы B и D — прямые, т. е. если у исходного четырехугольника ABCD углы, которые диагональ BD образует с каждой парой противоположных сторон, в сумме дают по 90o :
Отсюда конечно, следует, что
можно составить из отрезков a , b , c , d в том и только в том случае, когда
это следует из (3) в применении к ABC'D .)
Еще одно замечание. Не кажется ли вам странным, что необходимое и достаточное для равенства (6) условие (5) "несимметрично"? Ведь в (6) обе пары противоположных вершин участвуют равноправно — чем же диагональ BD лучше, чем AC ? Она, конечно, ничем не лучше. Мы сейчас увидим, что условие (5) можно заменить симметричным и поэтому, как часто бывает, более простым.
Легко проверить (рис. 5), что условие (5) эквивалентно просто такому: четырехугольник ABCD — вписанный и AC
Теперь мы можем сформулировать наш результат так: для того, чтобы выполнялась равенство (6), необходимо и достаточно, чтобы четырехугольник ABCD был вписанным и имел взаимно перпендикулярные диагонали.
(Попутно мы еще доказали, что для таких четырехугольников выполняется условие (7). Вспомните, как это сделать!).
Кроме решения с "переворачиванием треугольника" еще одно простое решение задачи б) основано на неравенстве Птолемея, т. е. на такой теореме (см. "Квант" # 4, 1972, стр. 45, решение M99):
В любом четырехугольнике ABCD
причем равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда четырехугольник ABCD — вписанный.
Из этой теоремы следует, что ( ϕ — угол между диагоналями)
На этом пути условия равенства сразу получаются в "симметричном" виде (но зато труднее получить условие (7)).
