ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73683
Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Последовательность  x0, x1, x2, ...  определена следующими условиями:  x0 = 1,  x1 = λ,  для любого  n > 1  выполнено равенство

(α + β)nxn = αnxnx0 + αn–1βxn–1x1 + αn–2β2xn–2x2 + ... + βnx0xn.
Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите xn и выясните, при каком n величина xn наибольшая.


Решение

  Докажем по индукции, что    .   База  (n = 0, 1)  задана в условии.
  Шаг индукции. Пусть     для всех  kn – 1.  Тогда из равенств

следует, что    ,   поскольку общий множитель левой и правой частей положителен при  n > 1.

  Неравенство     эквивалентно неравенству  n ≤ λ.  Таким образом, при переходе от  n – 1  к n число xn увеличивается, если
n < λ,  и уменьшается, если  n > λ.  Значит, наибольшее значение xn принимает при  n = [λ];  если λ – целое число, то  xλ–1 = xλ  – два наибольших числа последовательности xn.


Ответ

 ;   при  n = [λ].

Замечания

См. также статью В.Н. Вагутена "Числа Cnk, последовательности и многочлены".

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М148

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .