|
|
 |
Условие
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся какРешение
Если прямая пересекает две смежные стороны квадрата, то, очевидно, она разрезает квадрат на треугольник и пятиугольник. Но по условию каждая из 9 прямых разрезает квадрат на четырехугольники. Следовательно, такая прямая пересекает две противоположные стороны квадрата, т.е. разбивает квадрат на две трапеции (или два прямоугольника), основания которых лежат на сторонах квадрата, и высоты равны стороне квадрата. Ясно, что прямая делит "среднюю линию" квадрата в отношении 2:3 (рис.1), поскольку отношения площадей этих трапеций равно отношению их средних линий (лежащих на средней линии квадрата).
На средней линии квадрата имеется две точки, делящие ее и отношении 2:3 .
Рассмотрев две другие противоположные стороны квадрата, мы найдем еще две
точки на параллельной им средней линии.
В результате мы получаем, что каждая из 9 данных прямых проходит через
одну из 4 указанных точек (рис.2).
Безусловно, через одну из этих точек проходит не менее трех прямых.
Действительно, если бы через каждую точку проходило не больше двух прямых,
то всего было бы не больше 2 · 4=8 прямых, что противоречит условию.
Читатели указывают естественное обобщение задачи: вместо квадрата
рассматривается 2n -угольник, у которого противоположные стороны
параллельны, и прямые, каждая из которых делит этот 2n -угольник на два
(n+2) -угольника фиксированной площади.
Заметим, что если две стороны многоугольника не параллельны, то прямые, каждая из которых пересекает эти стороны и отсекает данную площадь, уже не будут проходить через одну точку (докажите это!), а будут касаться некоторой гиперболы.
