ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73687
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Разложение на множители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и  a > 1.
Докажите, что если  am + bm  делится на  an + bn,  то m делится на n.


Решение

  Мы докажем не только то, что m делится на n, то есть  m = kn,  но и то, что частное k нечётно. Предположим, что это не так и рассмотрим два случая.
  1)  m = kn + r,  где k нечётно, а  0 < r < n.  Тогда  am + bm = akn+r + bkn+r = ar(akn + bkn) + bkn(br – ar).
  Первое слагаемое делится на  an + bn,  а второе – нет, так как bkn взаимно просто с  an + bn  и  0 < |br – ar| < an + bn.  Следовательно, сумма не делится на  an + bn.
  2)  m = kn + r,  где k чётно, а  0 ≤ r < n.  Тогда  am + bm = akn+r + bkn+r = ar(akn – bkn) + bkn(ar + br).  Первое слагаемое делится на  a2nb2n,  а значит, и на  an + bn,  а второе – не делится на  an + bn,  так как  ar + br < an + bn.  Следовательно, сумма снова не делится на  an + bn.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М152

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .