Задача 73734

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

а) Докажите, что     (сумма берётся по всем целым i, 0 ≤ i ≤ ⁿ/₂).

б) Докажите, что если p и q – различные числа и  p + q = 1,  то

Решение

  а) Если в б) заменить правую часть на  pⁿ + p^n–1q + ... + pq^n–1 + qⁿ,  а потом подставить  p = q = ½,  то мы получим нужное равенство. Поэтому а) можно вывести из б) или доказать аналогично.

  б) Обозначим левую часть S_n, а правую – s_n. Заметим, что

  Далее  (pⁿ⁺² – qⁿ⁺²) – (pⁿ⁺¹ – qⁿ⁺¹) = pⁿ⁺¹(p – 1) – qⁿ⁺¹(q – 1) = – pⁿ⁺¹q + pqⁿ⁺¹ = –pq(pⁿ – qⁿ),  поэтому и  s_n+1 – s_n = –pqs_n–1.
  Итак, обе последовательности S_n и s_n удовлетворяют одному рекуррентному соотношению и одним начальным условиям  S₀ = s₀ = 1,
S₁ = s₁ = p + q = 1.  Следовательно, они совпадают.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М199