ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73753
Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  а) x1, x2, x3, x4, x5 – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x1x2, x2x3, x3x4, x4x5 и x5x1.
  б) При каком наибольшем cn для любых неотрицательных x1, ..., xn верно неравенство  (x1 + x2 + ... + xn)² ≥ cn(x1x2 + x2x3 + ... + xnx1)
(в правой части n слагаемых)?


Решение

  а) Обозначим  p = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1.
  Если  x2x1,  то  (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)² – (x1x2 + x3x4 + x5)² = (2x1 + 2x3 + 2x5)(2x2 + 2x4) = 4p + 4x1x4 + 4x5(x2x1) > 4p.
  Если  x2x1,  то аналогично  (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)² – (x2x1 + x3x4 + x5)2 = 4(x2 + x3 + x5)(x1 + x4) = 4p + 4x2x4 + 4x3(x1x2) > 4p.
  В обоих случаях  (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)² > 4p.

  При  n = 2  неравенство  (x1 + x2)² ≥ 2(x1x2 + x2x1)  очевидно. С другой стороны, подставив  x1 = x2 = 1,  получаем  4 ≥ 2c2,  то есть  c2 ≤ 2.
  При  n = 3  неравенство  (x1 + x² + x3)² ≥ 3(x1x2 + x2x3 + x3x1)  сводится к известному      (см. задачу 30865). С другой стороны, подставив  x1 = x2 = x3 = 1,  получаем  9 ≥ 3c3,  то есть c3 ≤ 3.
  При  n ≥ 4,  подставив  x1 = x2 = 1,  x3 = x4 = ... = xn = 0,  получим  4 ≥ cn.
  Докажем неравенство  (x1 + ... + xn)² ≥ 4(x1x2 + x2x3 + ... + xnx1)  по индукции.
  База  (n = 4).  (x1 + x2 + x3 + x4)² – 4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1) = ((x1 + x3) + (x2 + x4))² – 4(x1 + x3)(x2 + x4) = ((x1 + x3) – (x2 + x4))² ≥ 0.
  Шаг индукции. Можно считать, что xn+1 – наименьшее из чисел  x1, ..., xn+1.  Тогда
      (x1 + ... + xn+1)² ≥ (x1 + ... + xn)² + 2xn+1(x1 + ... + xn) + (xn+1)² ≥ 4(x1x2 + x2x3 + ... + xnx1) + 2xn+1(x1 + xn) + (xn+1)² =
  = 4(x1x2 + x2x3 + ... + xn+1x1) + 4xnx2 – 2xnxn+1 – 2xnxn+1 + (xn+1)² = 4(x1x2 + x2x3 + ... + xn+1x1) + (2x1xn+1)(2xnxn+1) ≥
  ≥ 4(x1x2 + x2x3 + ... + xn+1x1).


Ответ

б)  c2 = 2,  c3 = 3,  cn = 4  при  n ≥ 4.

Замечания

При  n = 2, 3, 4  неравенство верно для любых вещественных x1, ..., xn.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 8
Задача
Номер М218

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .