|
|
 |
Условие
Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?
Решение
Если целое число b равно полусумме целых чисел a и c, то a + c чётно, так что числа a и c имеют одну и ту же чётность. Поэтому, если расположить числа 1, 2, ..., n таким образом, чтобы сначала шли все чётные, а затем все нечётные числа, то число b может быть равно полусумме стоящих по разные стороны от него чисел a и c лишь в случае, когда все эти три числа имеют одну и ту же чётность. Таким образом, остается доказать, что требуемым образом можно расположить как чётные числа от 1 до n, так и нечётные.
Заметим, что располагать числа 2, 4, ..., 2k или же числа 1, 3, ..., 2k – 1 можно в том же порядке,
что и числа 1, 2, ..., k. Действительно, если
2b = ½ (2a + 2c) или 2b – 1 = ½ ((2a – 1) + (2c – 1)), то b = ½ (a + c).
Таким образом, задача сведена к упорядочиванию требуемым образом чисел
1, 2, ..., k (k = n/2, если n чётно, и k = n+1/2, если n нечётно). Так как для n = 1 доказываемое утверждение справедливо, то справедливость его для любого натурального n вытекает из принципа математической индукции.
Замечания
Проведённое рассуждение даёт конкретный способ построения требуемого расположения чисел 1, 2, ..., n. В качестве примера проведём такое построение для n = 16.
