Условие
На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2, сумма которых не превосходит 1, величина f (x1 + x2) не превосходит суммы величин f(x1) и f(x2).
а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x2) ≤ 2x.
б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x2) ≤ 1,9x?
Решение
а) Функция, удовлетворяющая условию задачи, монотонно возрастает. В самом деле,
если x2 
x1 и x2 
1 , то f(x2) f(x1)+f(x2-x1) и
f(x2-x1) 0 ; следовательно, f(x2) f(x1) . Поэтому если
<x 1 , поскольку f(1)=1 , имеем
f(x) 1 2x.
Пусть теперь 0<x . Возьмем такое натуральное n , чтобы
<nx 1 (понятно, что это всегда можно сделать). Легко
доказать (по индукции), что если x 0 и nx 1 , то f(nx)
nf(x) . Для <nx 1 уже доказано, что f(nx) 2 · nx .
Поэтому nf(x) f(nx) 2 · nx , откуда f(x) 2x и для
0<x .
Осталось только выяснить, что будет в нуле. Возьмем 0<x1 1 ; тогда
f(x1)=f(0+x1) f(0)+f(x1).
Но по определению f(0) 0 , значит, f(0)=0 .
б) Ответ: нет, не верно.
Приведем пример. Зададим функцию следующим образом:
f(x)=
Если 1 x1 x2 0 и x1+x2 1 , то x2
и f(x2)=0 .
Следовательно, f(x1+x2) f(x1)+f(x2) и рассматриваемая функция
удовлетворяет требованиям задачи.
В то же время
f ( 
)=1> 1,9 · .
Ответ
б) нет, не верно.
Источники и прецеденты использования
