Условие
Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?
Решение
Покажем, как построить требуемое разбиение. Разбиение однозначно задается функцией f:N
N
на множестве N натуральных чисел, сопоставляющей натуральному числу номер множества,
которому оно принадлежит. Определим функцию f на отрезке [2k-1+1;2k] индуктивно
по следующим правилам:
1) f(1)=1 .
2) Пусть f(x) уже определено для всех x
2k-1 , а y
[2k-1+1;2k] .
Тогда положим f(y)=f(y-2k-1) при k четном и f(y)=f(y-2k-1)+2s при k=2s+1 нечетном.
Легко проверить, что эта функция f задает требуемое разбиение.
Ответ
Ответ
Можно.
Источники и прецеденты использования
