На сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC выбраны точки P и R соответственно так, что  AP = CR.  Точка M – середина отрезка PR.
Докажите, что  BR = 2AM .

   Решение

Тема:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой a, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

Решение

Пусть длина бокового ребра равна b, а высота пирамиды равна h. Искомый объём V равен a²h/3. Пусть плоские углы при вершине и углы наклона боковых ребер к плоскости основания равны . Тогда b sin = h, b cos = a и b sin = . Поэтому h = b sin = = a cos, а значит, V = a³cos. Кроме того, sin = cos. Пусть cos = x Тогда = (2x² - 1). Решая это уравнение и оставляя только положительный корень, получаем x = .

Источники и прецеденты использования