Информация о задаче

Задача 76421

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен ${\frac{1}{3}}$ одной из высот.

Решение

Пусть a, a + d, a + 2d — стороны треугольника, h — высота, опущенная на сторону a + d. Площадь треугольника, с одной стороны, равна ${\frac{(a+d)h}{2}}$ , а с другой стороны, она равна произведению половины периметра на радиус вписанного круга: ${\frac{a+(a+d)+(a+2d)}{2}}$ r. Приравнивая эти выражения, получаем ${\frac{(a+d)h}{2}}$ = ${\frac{3(a+d)r}{2}}$ , т.е. r = ${\frac{1}{3}}$ h.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	1
Год	1935
вариант
Вариант	3
Тур	1
задача
Номер	2