Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂, ..., x_n ( n 2) из [a;b] и любых положительных , , ..., таких, что + +...+ = 1, выполняется неравенство:

f (x₁ +...+ x_n) > f (x₁) +...+ f (x_n).

   Решение

На собеседовании десяти человекам был предложен тест, состоящий из нескольких вопросов. Известно, что любые пять человек ответили вместе на все вопросы (то есть на каждый вопрос хоть один из пяти дал правильный ответ), а любые четыре – нет. При каком минимальном количестве вопросов это могло быть?

   Решение

Тема:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC из произвольной точки D на стороне AB проведены две прямые, параллельные сторонам AC и BC, пересекающие BC и AC соответственно в точках F и G. Доказать, что сумма длин описанных окружностей треугольников ADG и BDF равна длине описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Радиусы (а значит, и длины) описанных окружностей подобных треугольников ADG, DBF и ABC пропорциональны соответственным сторонам, поэтому все следует из равенства  AD + DB = AB.

Источники и прецеденты использования