Задача 76425

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Свойства разверток ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в 120^o; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой составляют арифметическую прогрессию с разностью 15^o. Определить угол наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.

Решение

Пусть l — длина образующей конуса. Длина окружности основания равна длине дуги развёртки, поэтому радиус окружности основания равен l /3. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна 180^o, получаем, что основание пирамиды — треугольник ABC с углами 45^o, 60^o, 75^o. Пусть BC — меньшая сторона, O — центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда BOC = 2 ^. 45^o = 90^o, поэтому BOC — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами l /3. Значит, BC = l/3. Пусть D — середина отрезка BC, S — вершина конуса. Тогда OD = и SD = = = . Если — искомый угол, то cos = = .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	1
Год	1935
вариант
Вариант	4
Тур	1
задача
Номер	3