Задача 76443
|
|
 |
Условие
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы три проведённые окружности имели в точках пересечения взаимно перпендикулярные касательные.
Решение
Пусть A, B, C – данные точки, A', B', C' – центры требуемых окружностей (A' – центр окружности, проходящей через точки B и C и т.д.).
Треугольники BA'C, AB'C, AC'B равнобедренные. Пусть x,
y, z – углы при их основаниях. Тогда y + z + ∠A = ± 90°, z + x + ∠B = ± 90°,
x + y + ∠C = ± 90°.
Эта система уравнений легко решается. Например, чтобы найти x, нужно сложить два последних уравнения и вычесть из них первое уравнение. Если же мы знаем (ориентированные) углы x, y, z, то требуемые окружности строятся
очевидным образом.
