Задача 76453

Темы:    [ Иррациональные уравнения ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Решить уравнение   = x.

Решение

  Ясно, что  a ≥ 0,  x ≥ 0.  Положим     тогда     Возводя в квадрат и вычитая, получим  x + y = y² – x²,  то есть
x + y = 0  или  y – x = 1.
  x + y  может равняться нулю только при  x = y = 0,  тогда и  a = 0.
  Если  y = x + 1,  то  (x + 1)² = x + a,  x² + x + 1 – a = 0.  При  a < 1  это уравнение неотрицательных корней не имеет. При  a ≥ 1  единственный неотрицательный корень равен  

Ответ

При  a = 0  x = 0;  при  a ≥ 1     при  a < 0  и  0 < a < 1  решений нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	5
Год	1939
вариант
Тур	1
задача
Номер	4