Задача 76458

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найти остаток от деления на 7 числа  10¹⁰ + 10¹⁰² + 10¹⁰³ + ... + 10¹⁰¹⁰.

Решение

10⁶ ≡ 1 (mod 7),  поскольку  10³ + 1  делится на 7, и  10^k ≡ 4 (mod 6)  при  k ≥ 1,  поскольку число 9...96 чётно и делится на 3. Значит,
10^10k ≡ 10⁴ (mod 7)  при  k ≥ 1.  Поэтому требуемый остаток равен остатку от деления числа   10·10⁴ ≡ 3⁵ ≡ 2 (mod 7).

Ответ

5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	5
Год	1939
вариант
Тур	2
задача
Номер	4
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	017