Условие
Дана правильная пирамида. Из произвольной точки
P её основания восставлен
перпендикуляр к плоскости основания. Доказать, что сумма отрезков от точки
P
до точек пересечения перпендикуляра с плоскостями граней пирамиды не зависит от
выбора точки
P на основании.
Решение
Пусть
— плоскость основания пирамиды,
Q — точка пересечения
перпендикуляра к плоскости
, восставленного из точки
P, с плоскостью
грани пирамиды,
R — основание перпендикуляра, опущенного на ребро этой
грани, лежащее в плоскости
. Тогда
PQ =
PRtg
, где
=
PRQ. Угол
— это угол наклона плоскости грани к
плоскости основания. Для всех граней пирамиды он один и тот же. Поэтому нужно
доказать, что для правильного многоугольника, лежащего в основании пирамиды,
имеет место следующее утверждение: к Для любой точки
P, лежащей внутри
правильного многоугольника, сумма расстояний от
P до сторон многоугольника
одна и та же.к Чтобы доказать это утверждение, разрежем правильный
многоугольник на треугольники, проведя отрезки из точки
P в вершины. С одной
стороны, сумма площадей этих треугольников постоянна (она равна площади
многоугольника). С другой стороны, она равна половине произведения
суммы расстояний от точки
P до сторон многоугольника на длину стороны
правильного многоугольника.
Источники и прецеденты использования
