Условие
Дана правильная пирамида. Из произвольной точки P её основания восставлен
перпендикуляр к плоскости основания. Доказать, что сумма отрезков от точки P
до точек пересечения перпендикуляра с плоскостями граней пирамиды не зависит от
выбора точки P на основании.
Решение
Пусть 
— плоскость основания пирамиды, Q — точка пересечения
перпендикуляра к плоскости , восставленного из точки P, с плоскостью
грани пирамиды, R — основание перпендикуляра, опущенного на ребро этой
грани, лежащее в плоскости . Тогда
PQ = PRtg
, где
= 
PRQ. Угол — это угол наклона плоскости грани к
плоскости основания. Для всех граней пирамиды он один и тот же. Поэтому нужно
доказать, что для правильного многоугольника, лежащего в основании пирамиды,
имеет место следующее утверждение: к Для любой точки P, лежащей внутри
правильного многоугольника, сумма расстояний от P до сторон многоугольника
одна и та же.к Чтобы доказать это утверждение, разрежем правильный
многоугольник на треугольники, проведя отрезки из точки P в вершины. С одной
стороны, сумма площадей этих треугольников постоянна (она равна площади
многоугольника). С другой стороны, она равна половине произведения
суммы расстояний от точки P до сторон многоугольника на длину стороны
правильного многоугольника.
Источники и прецеденты использования
