Информация о задаче

Задача 76465

Темы:	[	Неопределено	]
Темы:	[	Методы решения задач с параметром	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} (x^3+y^3)(x^2+y^2)&=& 2b^5,\\ x+y&=& b. \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rcl} (x^3+y^3)(x^2+y^2)&=& 2b^5,\\ x+y&=& b. \end{array}$

Решение

Пусть xy = t. Тогда x² + y² = b² - 2t и x³ + y³ = b(b² - 3t). Поэтому b(b² - 2t)(b² - 3t) = 2b⁵. Если b = 0, то получаем решение x = - y. Если b $\ne$ 0, то для t получаем квадратное уравнение (b² - 2t)(b² - 3t) = 2b⁴. Решив его, находим t₁ = b², t₂ = - b²/6. Остаётся заметить, что x и y являются корнями квадратного уравнения X² - bX + t = 0.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	6
Год	1940
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	1