Задача 76468

Тема:    [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В плоскости даны две прямые. Найти геометрическое место точек, разность расстояний которых от этих прямых равна заданному отрезку.

Решение

Пусть a — заданный отрезок. Пусть, далее, точки пересечения данных прямых l₁ и l₂ с прямыми, параллельными l₁ и l₂ и удалёнными от них на расстояние a, образуют прямоугольник M₁M₂M₃M₄. Покажем, что искомое ГМТ -- продолжения сторон этого прямоугольника. Опустим из точки X перпендикуляры XA₁ и XA₂ на данные прямые l₁ и l₂. Пусть, например, XA₁ - XA₂ = a. Возьмём на луче A₁X точку B так, что A₁B = a. Тогда BX = XA₂. Пусть M — точка пересечения прямой l₂ и прямой, проходящей через точку B параллельно прямой l₁ (M — это одна из точек M₁, M₂, M₃, M₄). Тогда MX — биссектриса угла BMA₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	6
Год	1940
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	4