Задача 76483
|
|
 |
Условие
Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.
Решение 1
Обозначим через x среднее арифметическое данных чисел. Тогда они равны x – 3/2, x – 1/2, x + 1/2, x + 3/2, а их произведение, увеличенное на 1, равно то есть является квадратом рационального числа. Поскольку это число целое, оно является квадратом целого числа.
Решение 2
Заметим, что (a² – 1)(b² – 1) = (ab – 1)² – (a – b)² (см., например, замечание к задаче 61078). Поэтому
(n – 1)n(n + 1)(n + 2) = (n² – 1)(n² + 2n) = (n² – 1)((n + 1)² – 1) = (n(n + 1) – 1)² – 1.
