|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник ABC.
Решение
Разрежем треугольник ABC на три четырёхугольника, опустив перпендикуляры из центра вписанной окружности на стороны. Эти четырёхугольники симметричны относительно диагоналей, изображённых пунктиром на рисунке. Поэтому, переворачивая четырёхугольники вокруг этих диагоналей, получаем исходный треугольник ABC.
Замечания
Задача сформулирована нечётко: количество частей, на которые нужно разрезать треугольник, зависит от его вида. Например, равнобедренный треугольник разрезать вообще не нужно; прямоугольный треугольник можно разрезать на две части, проведя медиану из вершины прямого угла.
Существуют и другие треугольники, которые допускают разрезание на две части. Рис. слева показывает, как можно разрезать требуемым образом треугольник с углами nα, (n + 2)α и π – (2n + 2)α, а на рис. справа приведено разрезание треугольника с углами π – α, π – nα и (n + 1)α − π. В обоих случаях от треугольника отрезается выпуклый (n + 2)-угольник.
Предположим противное: ломаная X1X2...Xn разрезает треугольник ABC на две части P и Q требуемым образом. Тогда по условию существуют две такие скользящие симметрии p и q, что ABC = pP ∪ qQ, причём pP и qQ пересекаются только по границе. Рассматривая малые окрестности точек ломаной X1...Xn, нетрудно показать, что без ограничения общности можно считать, что либо p(X1X2...Xn) = Xn...X1, либо p(X1X2...Xn) = Xn+1Xn...X2, где Xn+1 – вершина одного из углов треугольника ABC. Из этого можно сделать вывод, что либо p◦q(X1X2...Xn) = X2...Xn+1, либо p◦q(X1X2...Xn) = X3...Xn+1Xn+2, где точка Xn+2 лежит на одной из сторон треугольника либо на её продолжении. Но p◦q – это поворот на некоторый угол φ. Продолжим рассматриваемую ломаную, добавив к ней точки Xn+2 = p◦q(Xn), X0 = p◦q(X2),
X–1 = p◦q(X1). Построенная ломаная содержит звенья или диагонали, параллельные всем трём сторонам треугольника ABC. Из этого следует, что все углы треугольника ABC выражаются в виде рациональной линейной комбинации чисел φ и π. В частности, α = m1φ + n1π и β = m2φ + n2π. При этом m1 ≠ 0 и m2 ≠ 0 (иначе мы сразу получили бы рациональную линейную зависимость). Следовательно, мы можем выразить φ из первого равенства и подставить это выражение во второе равенство. В результате снова получаем рациональную зависимость. Противоречие.
