Для каждого натурального n обозначим через P(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например,  P(4) = 5,  потому что  4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1  – пять способов).
  а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение  4 = 1 + 1 + 2  имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма Q(n) разбросов всех разбиений числа n равна   1 + P(1) + P(2) + ... + P(n–1).
  б) Докажите, что  

   Решение

Темы:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.

Решение

Предположим, что отрезок CD разрезает разносторонний треугольник ABC на два равных треугольника ACD и BCD. Эти треугольники имеют, в частности, равные площади, поэтому AD = BD. Кроме того, сторона CD общая. Следовательно, оставшиеся стороны равны, т.е. AC = BC. Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования