|
|
 |
Условие
Система уравнений второго порядка
x² – y² = 0,
(x – a)² + y² = 1
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений
системы уменьшается до трёх или до двух?
Решение 1
Из первого уравнения получаем y = ±x. Подставив это выражение во второе уравнение, получим (x – a)² + x² = 1. (1)
Число решений системы уменьшается до трёх, если одно из решений уравнения (1) обращается в нуль. Подставив в (1) x = 0, получим
a² = 1, то есть a = ±1.
Число решений системы уменьшается до двух, если уравнение (1) имеет
единственный корень (то есть два совпадающих корня). Приравнивая нулю дискриминант
уравнения (1), получаем a = ± .
Решение 2
Первое уравнение задаёт на плоскости две прямые: y = x и y = – x, второе – окружность радиуса 1 с центром в точке (a, 0). Число решений уменьшается до трёх, когда окружность проходит через точку пересечения прямых, и до двух, когда окружность касается прямых. Отсюда ответ.
Ответ
Число решений уменьшается до трёх при a = ±1 и до двух при a = ± .
