Задача 76521

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Доказать, что в произведении  (1 – x + x² – x³ + ... – x⁹⁹ + x¹⁰⁰)(1 + x + x² + x³ + ... + x⁹⁹ + x¹⁰⁰)  после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих x в нечётной степени.

Подсказка

Рассматриваемое произведение P(x) является чётной функцией:  P(– x) = P(x).

Решение 1

Данное произведение равно   

Решение 2

Данное произведение P(x) имеет вид Q(x)Q(– x), значит,  P(– x) = P(x)  и  2P(x) = P(x) + P(– x).  Но в правой части все одночлены нечётной степени, очевидно, сокращаются.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	9
Год	1946
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	5