ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76522
Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ]
[ Задачи на максимум и минимум (прочее) ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве даны две пересекающиеся плоскости $ \alpha$ и $ \beta$. На линии их пересечения дана точка A. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости $ \alpha$ и проходящих через точку A, наибольший угол с плоскостью $ \beta$ образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей $ \alpha$ и $ \beta$.

Решение

Пусть l — прямая, лежащая в плоскости $ \alpha$ и проходящая через точку A. Отложим на прямой l отрезок AB длины 1. Пусть B' — проекция точки B на плоскость $ \beta$, O — проекция точки B на линию пересечения плоскостей $ \alpha$ и $ \beta$. Тогда sin BAB' = BB' = OB sin BOB' = sin BAO sin BOB'. При этом sin BOB' — синус угла между плоскостями $ \alpha$ и $ \beta$; этот угол фиксирован. Поэтому sin BAB' максимален, когда $ \angle$BAO = 90o.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 9
Год 1946
вариант
Класс 9,10
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .