Информация о задаче

Задача 76522

Темы:	[	Углы между прямыми и плоскостями	]
	[	Задачи на максимум и минимум (прочее)	]
	[	Ортогональная проекция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В пространстве даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$ . На линии их пересечения дана точка A. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости $\alpha$ и проходящих через точку A, наибольший угол с плоскостью $\beta$ образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ .

Решение

Пусть l — прямая, лежащая в плоскости $\alpha$ и проходящая через точку A. Отложим на прямой l отрезок AB длины 1. Пусть B' — проекция точки B на плоскость $\beta$ , O — проекция точки B на линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ . Тогда sin BAB' = BB' = OB sin BOB' = sin BAO sin BOB'. При этом sin BOB' — синус угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ ; этот угол фиксирован. Поэтому sin BAB' максимален, когда $\angle$ BAO = 90^o.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	9
Год	1946
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	1