|
|
 |
Условие
Через точку A, лежащую внутри угла, проведена прямая, отсекающая от этого
угла наименьший по площади треугольник. Доказать, что отрезок этой прямой,
заключённый между сторонами угла, делится в точке A пополам.
Решение
Пусть PQ — отрезок, который делится точкой A пополам, P'Q' — другой
отрезок, проходящий через точку A. Покажем, что отрезок P'Q' отсекает
треугольник большей площади, чем отрезок PQ. Пусть для определённости
P'AQ'A. Отложим на отрезке AP' отрезок AP'' = AQ'. Треугольники APP''
и AQQ' равны, а треугольник APP' содержит треугольник APP''. Значит,
площадь треугольника APP' больше площади треугольника AQQ'. Разность между
площадями треугольников, отсекаемых отрезками P'Q' и PQ, равна разности
площадей треугольников APP' и AQQ'.
