Задача 76529

Тема:    [ Угол (экстремальные свойства) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах угла AOB от вершины O отложены отрезки OA и OB, причем OA > OB. На отрезке OA взята точка M, на продолжении отрезка OB — точка N так, что AM = BN = x. Найти значение x, при котором отрезок MN имеет наименьшую длину.

Решение

Ответ: x = . Пусть AM' = BN' = (тогда OM' = ON'). Возьмём произвольную из рассматриваемых точек MM' и покажем, что MN > M'N'. Пусть P — точка пересечения M'N' и MN. Продолжим отрезок M'N' за точку M' и отложим на продолжении отрезок M'Q = N'P. Треугольники MM'Q и NN'P равны, поэтому MN = MP + MQ > PQ = M'N'.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	9
Год	1946
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	3