ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76529
Тема:    [ Угол (экстремальные свойства) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах угла AOB от вершины O отложены отрезки OA и OB, причем OA > OB. На отрезке OA взята точка M, на продолжении отрезка OB — точка N так, что AM = BN = x. Найти значение x, при котором отрезок MN имеет наименьшую длину.

Решение

Ответ: x = $ {\frac{OA-OB}{2}}$. Пусть AM' = BN' = $ {\frac{OA-OB}{2}}$ (тогда OM' = ON'). Возьмём произвольную из рассматриваемых точек M$ \ne$M' и покажем, что MN > M'N'. Пусть P — точка пересечения M'N' и MN. Продолжим отрезок M'N' за точку M' и отложим на продолжении отрезок M'Q = N'P. Треугольники MM'Q и NN'P равны, поэтому MN = MP + MQ > PQ = M'N'.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 9
Год 1946
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .