Информация о задаче

Задача 76534

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На сторонах PQ, QR, RP треугольника PQR отложены отрезки AB, CD, EF. Внутри треугольника задана точка S₀. Найти геометрическое место точек S, лежащих внутри треугольника PQR, для которых сумма площадей треугольников SAB, SCD, SEF равна сумме площадей треугольников S₀AB, S₀CD, S₀EF. Рассмотреть особый случай, когда

$\displaystyle {\frac{AB}{PQ}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{QR}}$ = $\displaystyle {\frac{EF}{RP}}$ .

Решение

Будем считать, что ${\frac{AB}{PQ}}$ $\ge$ ${\frac{CD}{QR}}$ $\ge$ ${\frac{EF}{RP}}$ . Отложим на сторонах QR и PR отрезки QD' = CD^. ${\frac{PQ}{AB}}$ и PE' = FE^. ${\frac{PQ}{AB}}$ . Тогда
$\begin{align*} S_{\Delta SAB}+S_{\Delta SCD}+S_{\Delta SEF}&= \frac{AB}{PQ}\le... ...)=\\ &=\frac{AB}{PQ}\left(S_{PQD'E'}\pm S_{\Delta SD'E'}\right). \end{align*}$
В последнем выражении знак плюс берётся, если точка S лежит вне четырёхугольника PQD'E', а знак минус — если внутри. Из полученной формулы следует, что для точек S искомого геометрического места площадь треугольника SD'E' должна быть постоянной. Поэтому искомое ГМТ — отрезок прямой, параллельной D'E' и проходящей через точку S₀. В особом случае искомое ГМТ -- весь треугольник PQR.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	9
Год	1946
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	3