ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76543
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что каково бы ни было целое число n, среди чисел n,  n + 1,  n + 2,  ...,  n + 9  есть хотя бы одно, взаимно простое с остальными девятью.


Решение

Среди данных чисел есть пять нечётных. Рассмотрим остатки от деления этих пяти чисел на 3, 5 и 7. Среди остатков от деления на 3 нет трёх одинаковых, а среди остатков от деления на 5 и на 7 нет двух одинаковых. Поэтому среди указанных пяти чисел можно выбрать три числа, не кратных 3, а среди них выбрать число, не кратное ни 5, ни 7. Это число взаимно просто с остальными девятью числами.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 10
Год 1947
вариант
Класс 9,10
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .