|
|
 |
Условие
Даны 3 окружности O1, O2, O3, проходящие через одну точку O.
Вторые точки пересечения O1 с O2, O2 с O3 и O3 с O1 обозначим
соответственно через A1, A2 и A3. На O1 берем произвольную точку
B1. Если B1 не совпадает с A1, то проводим через B1 и A1 прямую
до второго пересечения с O2 в точке B2. Если B2 не совпадет с A2,
то проводим через B2 и A2 прямую до второго пересечения с O3 в точке
B3. Если B3 не совпадет с A3, то проводим через B3 и A3 прямую
до второго пересечения с O1 в точке B4. Докажите, что B4 совпадает
с B1.
Решение
Пусть
(AB, CD) — ориентированный угол между прямыми AB и CD. Тогда
(A3O, A3B1) +
(A3B3, A3O) =
(A1O, A1B1) +
(A2B3, A2O) =
(A1O, A1B2) +
(A2B2, A2O) = 0o,
поэтому точки A3, B1 и B3 лежат на одной прямой. Значит, B4 = B1.
