Задача 77902

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Даны 3 окружности O₁, O₂, O₃, проходящие через одну точку O. Вторые точки пересечения O₁ с O₂, O₂ с O₃ и O₃ с O₁ обозначим соответственно через A₁, A₂ и A₃. На O₁ берем произвольную точку B₁. Если B₁ не совпадает с A₁, то проводим через B₁ и A₁ прямую до второго пересечения с O₂ в точке B₂. Если B₂ не совпадет с A₂, то проводим через B₂ и A₂ прямую до второго пересечения с O₃ в точке B₃. Если B₃ не совпадет с A₃, то проводим через B₃ и A₃ прямую до второго пересечения с O₁ в точке B₄. Докажите, что B₄ совпадает с B₁.

Решение

Пусть (AB, CD) — ориентированный угол между прямыми AB и CD. Тогда (A₃O, A₃B₁) + (A₃B₃, A₃O) = (A₁O, A₁B₁) + (A₂B₃, A₂O) = (A₁O, A₁B₂) + (A₂B₂, A₂O) = 0^o, поэтому точки A₃, B₁ и B₃ лежат на одной прямой. Значит, B₄ = B₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	13
Год	1950
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	3