|
|
 |
Условие
Имеются две концентрические окружности. Вокруг меньшей из них описан
многоугольник, целиком находящийся внутри большей окружности. Из общего центра
на стороны многоугольника опущены перпендикуляры, которые продолжены до
пересечения с большей окружностью; каждая из полученных точек пересечения
соединена с концами соответствующей стороны многоугольника. При каком условии
построенный так звёздчатый многоугольник будет развёрткой пирамиды?
Решение
Ответ: при условии, что R > 2r, где R — радиус большей окружности, r радиус меньшей окружности. Чтобы получилась развёртка пирамиды, нужно, чтобы выполнялись два условия: 1) длины двух сторон звёздчатого многоугольника, выходящих из одной вершины описанного многоугольника, равны; 2) сумма углов звёздчатого многоугольника при вершинах, лежащих на большей окружности, меньше 360o. Первое условие выполняется всегда. Посмотрим, когда выполняется второе условие. Сравним угол при вершине, лежащей на большей окружности, с углом, под которым видна соответствующая сторона описанного многоугольника из центра окружности. Эти углы равны, если r = R - r. Если r < R - r, то первый угол меньше второго, а если r > R - r, то первый угол больше второго. Остаётся заметить, что сумма углов, под которыми видны стороны описанного многоугольника из центра окружности, равна 360o.
