Условие
Имеются две концентрические окружности. Вокруг меньшей из них описан
многоугольник, целиком находящийся внутри большей окружности. Из общего центра
на стороны многоугольника опущены перпендикуляры, которые продолжены до
пересечения с большей окружностью; каждая из полученных точек пересечения
соединена с концами соответствующей стороны многоугольника. При каком условии
построенный так звёздчатый многоугольник будет развёрткой пирамиды?
Решение
Ответ: при условии, что
R > 2
r, где
R — радиус большей окружности,
r
радиус меньшей окружности.
Чтобы получилась развёртка пирамиды, нужно, чтобы выполнялись два условия:
1) длины двух сторон звёздчатого многоугольника, выходящих из одной вершины
описанного многоугольника, равны; 2) сумма углов звёздчатого многоугольника при
вершинах, лежащих на большей окружности, меньше
360
o. Первое условие
выполняется всегда. Посмотрим, когда выполняется второе условие. Сравним угол
при вершине, лежащей на большей окружности, с углом, под которым видна
соответствующая сторона описанного многоугольника из центра окружности. Эти
углы равны, если
r =
R -
r. Если
r <
R -
r, то первый угол меньше второго, а если
r >
R -
r, то первый угол больше второго. Остаётся заметить, что сумма углов, под
которыми видны стороны описанного многоугольника из центра окружности, равна
360
o.
Источники и прецеденты использования
