ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77931
Тема:    [ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Проекцией точки A из точки O на плоскость P называется точка A', в которой прямая OA пересекает плоскость P. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка O не лежит в его плоскости?

Решение

Пусть ABC — данный треугольник. Рассмотрим полный трёхгранный угол OABC с вершиной O, состоящий из двух трёхгранных углов (рёбрами одного угла являются лучи OA, OB, OC, а рёбрами другого — их продолжения). Проекция треугольника ABC на плоскость P совпадает с пересечением плоскости P и полного трёхгранного угла OABC. В зависимости от взаимного расположения плоскости и трёхгранного угла возникают следующие варианты. 1) Плоскость P параллельна двум рёбрам и пересекает третье. В проекции получается угол. 2) Плоскость P параллельна одному ребру и пересекает два других, причём оба -- с одной стороны от вершины O. В проекции получается полоса, ограниченная двумя параллельными прямыми и пересекающими их третьей прямой. 3) Плоскость P параллельна одному ребру и пересекает два других, причём по разные стороны от вершины O. В проекции получаются два угла, у которых сторона одного служит продолжением стороны другого, а две другие стороны параллельны и противоположно направлены. 4) Плоскость P пересекает все три ребра, причём все три — с одной стороны от вершины O. В проекции получается треугольник. 5) Плоскость P пересекает все три ребра, причём два — с одной стороны от вершины O, а одно — с другой. В проекции получается фигура, состоящая из угла и бесконечной фигуры, которая ограничена продолжениями сторон этого угла и прямой, их пересекающей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 14
Год 1951
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .