Задача 77932

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

При делении многочлена  x¹⁹⁵¹ – 1  на  x⁴ + x³ + 2x² + x + 1  получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при x¹⁴.

Решение

Равенства  x⁴ + x³ + 2x² + x + 1 = (x² + 1)(x² + x + 1)  и  x¹² – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)(x³ + 1)(x² + 1)(x⁴ – x² + 1)  показывают, что

(остальные коэффициенты в знаменателе несущественны). Поэтому поделить многочлен  x¹⁹⁵¹ – 1  на  x⁴ + x³ + 2x² + x + 1  – это то же самое, что сначала поделить его на  x¹² – 1,  а потом умножить на  x⁸ – x⁷ – ... .  Но   = x¹⁹³⁹ + x¹⁹²⁷ + x¹⁹¹⁵ + ... + x¹⁹ + x⁷ + ,   поэтому искомый коэффициент равен коэффициенту при x¹⁴ в произведении   x¹⁹³⁹ + ... + x¹⁹ + x⁷ + (x⁸ – x⁷ – ...).

Ответ

–1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	14
Год	1951
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	5