Задача 77933

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Площадь и ортогональная проекция ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Все рёбра треугольной пирамиды равны a. Найти наибольшую площадь, которую может иметь ортогональная проекция этой пирамиды на плоскость.

Решение

Ответ: a²/2. Проекция тетраэдра может быть треугольником или четырехугольником. В первом случае она является проекцией одной из граней, поэтому ее площадь не превосходит a²/4. Во втором случае диагонали четырехугольника являются проекциями рёбер тетраэдра, поэтому площадь ортогональной проекции, равная половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними, не превосходит a²/2; равенство достигается, когда пара противоположных рёбер тетраэдра параллельна данной плоскости. Остаётся заметить, что a²/4 < a²/2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	14
Год	1951
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	1