ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77934
Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее кратное любых двух из них больше чем 1951.
Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.


Решение

  Пусть a1, ..., an – данные числа. Количество членов ряда 1, 2, 3, ..., 1951, делящихся на ak, равно  [1951/ak].  По условию наименьшее общее кратное любых двух из чисел a1, ..., an больше 1951, поэтому среди чисел 1, 2, ..., 1951 нет ни одного числа, делящегося одновременно на два из чисел a1, ..., an. Поэтому число членов последовательности 1, 2, ..., 1951, делящихся хотя бы на одно из чисел a1, ..., an, равно
[1951/a1] + [1951/a2] + ... + [1951/an].  Но в последовательности 1, 2, ..., 1951 всего 1951 членов, поэтому  [1951/a1] + [1951/a2] + ... + [1951/an] ≤ 1951.
  Учитывая, что  [1951/ak] > 1951/ak – 1,  получаем  (1951/a1 – 1) + (1951/a2 – 1) + ... + (1951/an – 1) < 1951,  то есть
1951/a1 + 1951/a2 + ... + 1951/an < 1951 + n < 2·1951.
  Сокращая обе части на 1951, получаем требуемое.

Замечания

Число 1951 можно заменить на любое другое натуральное число  N ≥ 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 14
Год 1951
вариант
Класс 9,10
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .