Задача 77936

Тема:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Окружность обладает тем свойством, что внутри неё можно двигать правильный треугольник так, чтобы каждая вершина треугольника описывала эту окружность. Найти замкнутую несамопересекающуюся кривую, отличную от окружности, внутри которой также можно двигать правильный треугольник так, чтобы каждая его вершина описывала эту кривую.

Решение

Возьмём окружность, радиус которой равен стороне правильного треугольника, отрежем от неё два сегмента, хорды которых стягивают угол 120^o. Сложим их этих двух сегментов фигуру, приложив друг к другу их хорды. Граница этой фигуры обладает требуемым свойством. Действительно, поместим правильный треугольник в эту фигуру так, как показано на рис.??? Затем будем поворачивать треугольник по часовой стрелке вокруг точки O₁. После поворота на 60^o будем поворачивать треугольник по часовой стрелке вокруг точки O₂ и т.д. После шести таких поворотов (трёх пар поворотов вокруг O₁ и O₂) треугольник вернётся в исходное положение, причём каждая его вершина опишет всю кривую.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	14
Год	1951
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	4