Задача 77937

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенства для углов треугольника ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

В ABC вписана окружность, которая касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что LMN всегда остроугольный (независимо от вида ABC).

Решение

Пусть L, M и N лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Треугольники BNL и CLM равнобедренные; углы при их основаниях равны (180^o - B) и (180^o - C). Поэтому NLM = (180^o - A) < 90^o. Аналогично доказывается, что остальные углы треугольника NLM острые.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	1