ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77937
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В $ \Delta$ABC вписана окружность, которая касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что $ \Delta$LMN всегда остроугольный (независимо от вида $ \Delta$ABC).

Решение

Пусть L, M и N лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Треугольники BNL и CLM равнобедренные; углы при их основаниях равны $ {\frac{1}{2}}$(180o - $ \angle$B) и $ {\frac{1}{2}}$(180o - $ \angle$C). Поэтому $ \angle$NLM = $ {\frac{1}{2}}$(180o - $ \angle$A) < 90o. Аналогично доказывается, что остальные углы треугольника NLM острые.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 15
Год 1952
вариант
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .