ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77971
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 2+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)

Решение

Пусть A, B, C — точки касания, A1, B1 и C1 — центры данных окружностей, причём точки A, B и C лежат на отрезках B1C1, C1A1 и A1B1 соответственно. Тогда A1B = A1C, B1A = B1C и C1A = C1B. Из этого следует, что A, B и C — точки касания вписанной окружности треугольника A1B1C1 с его сторонами. Действительно, пусть A1B = A1C = x, B1A = B1C = y и C1A = C1B = z. Тогда, например, x = $ {\frac{A_1B_1+A_1C_1-B_1C_1}{2}}$ и для точек касания вписанной окружности треугольника A1B1C1 со сторонами A1B1 и A1C1 такое соотношение тоже выполняется. В результате получаем, что радиусы A1B, B1C и C1A данных окружностей касаются описанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 16
Год 1953
вариант
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .