ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77974
Темы:    [ Векторы (прочее) ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

AB и A1B1 — два скрещивающихся отрезка. O и O1 — соответственно их середины. Докажите, что отрезок OO1 меньше полусуммы отрезков AA1 и BB1.

Решение

Сложим равенства $ \overrightarrow{AA_1}$ = $ \overrightarrow{AO}$ + $ \overrightarrow{OO_1}$ + $ \overrightarrow{O_1A_1}$ и $ \overrightarrow{BB_1}$ = $ \overrightarrow{BO}$ + $ \overrightarrow{OO_1}$ + $ \overrightarrow{O_1B_1}$. Учитывая, что $ \overrightarrow{AO}$ + $ \overrightarrow{BO}$ = $ \overrightarrow{0}$ и $ \overrightarrow{O_1A_1}$ + $ \overrightarrow{O_1B_1}$ = $ \overrightarrow{0}$, получим $ \overrightarrow{OO_1}$ = $ {\frac{1}{2}}$($ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \overrightarrow{BB_1}$). Из этого требуемое неравенство следует очевидным образом, поскольку прямые AA1 и BB1 не могут быть параллельны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 16
Год 1953
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .