Информация о задаче

Задача 77974

Темы:	[	Векторы (прочее)	]
Темы:	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

AB и A₁B₁ — два скрещивающихся отрезка. O и O₁ — соответственно их середины. Докажите, что отрезок OO₁ меньше полусуммы отрезков AA₁ и BB₁.

Решение

Сложим равенства $\overrightarrow{AA_1}$ = $\overrightarrow{AO}$ + $\overrightarrow{OO_1}$ + $\overrightarrow{O_1A_1}$ и $\overrightarrow{BB_1}$ = $\overrightarrow{BO}$ + $\overrightarrow{OO_1}$ + $\overrightarrow{O_1B_1}$ . Учитывая, что $\overrightarrow{AO}$ + $\overrightarrow{BO}$ = $\overrightarrow{0}$ и $\overrightarrow{O_1A_1}$ + $\overrightarrow{O_1B_1}$ = $\overrightarrow{0}$ , получим $\overrightarrow{OO_1}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{AA_1}$ + $\overrightarrow{BB_1}$ ). Из этого требуемое неравенство следует очевидным образом, поскольку прямые AA₁ и BB₁ не могут быть параллельны.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	2