Информация о задаче

Задача 77983

Темы:	[	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

a, b, c и d — длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через S его площадь. Доказать, что

S $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a + b)(c + d ).

Решение

Разрежем четырёхугольник на два треугольника со сторонами a и d, b и c. В результате получим 2S $\le$ ad + bc. Остаётся доказать неравенство 2S $\le$ ac + bd. Для этого поступим следующим образом. Отрежем треугольник со сторонами c и d, перевернём его и приложим к треугольнику со сторонами a и b так, чтобы получился четырёхугольник с последовательными сторонами a, b, d и c. Полученный четырёхугольник можно разрезать на два треугольника со сторонами a и c, b и d. Поэтому 2S $\le$ ac + bd.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1