Задача 77996

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Даны два выпуклых многоугольника A₁A₂A₃A₄...A_n и B₁B₂B₃B₄...B_n. Известно, что A₁A₂ = B₁B₂, A₂A₃ = B₂B₃,..., A_nA₁ = B_nB₁ и n - 3 угла одного многоугольника равны соответственным углам другого. Будут ли многоугольники равны?

Решение

Ответ: да, будут. Применим индукцию по n. При n = 3 имеем два треугольника, у которых соответственные стороны равны. Рассмотрим теперь два n-угольника, где n4. По условию у них есть пара равных соответственных углов. Отрежем от каждого многоугольника треугольник, две стороны которого заключают данный угол. Эти треугольники равны, поэтому к оставшимся (n - 1)-угольникам можно применить предположение индукции. Действительно, отрезая от равных углов равные углы, мы получаем равные углы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	2