ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77996
Темы:    [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два выпуклых многоугольника A1A2A3A4...An и B1B2B3B4...Bn. Известно, что A1A2 = B1B2, A2A3 = B2B3,..., AnA1 = BnB1 и n - 3 угла одного многоугольника равны соответственным углам другого. Будут ли многоугольники равны?

Решение

Ответ: да, будут. Применим индукцию по n. При n = 3 имеем два треугольника, у которых соответственные стороны равны. Рассмотрим теперь два n-угольника, где n$ \ge$4. По условию у них есть пара равных соответственных углов. Отрежем от каждого многоугольника треугольник, две стороны которого заключают данный угол. Эти треугольники равны, поэтому к оставшимся (n - 1)-угольникам можно применить предположение индукции. Действительно, отрезая от равных углов равные углы, мы получаем равные углы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .