|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Пусть A1, B1, C1 — точки пересечения прямых
AS, BS, CS соответственно со сторонами BC, CA, AB треугольника, где
S — произвольная внутренняя точка треугольника ABC. Доказать, что, по
крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников AB1SC1, C1SA1B,
A1SB1C углы при вершинах C1, B1, или C1, A1, или A1, B1
&8212; одновременно оба неострые.
Решение
Предположим, что в каждом из полученных четырёхугольников AB1SC1, C1SA1B, A1SB1C по крайней мере один из углов при каждой паре вершин C1 и B1, C1 и A1, A1 и B1 острый. Пусть, например, в четырёхугольнике AB1SC1 угол при вершине C1 острый. Тогда в четырёхугольнике C1SA1B угол при вершине C1 тупой, поэтому угол при вершине A1 должен быть острым. Тогда в четырёхугольнике A1SB1C угол при вершине A1 тупой, поэтому угол при вершине B1 должен быть острым. Пусть A2, B2, C2 — основания высот опущенных из вершин A, B, C на стороны треугольника. Тогда точка C1 должна лежать на отрезке BC2, точка A1 — на отрезке CA2, точка B1 — на отрезке AB2. Но в таком случае отрезки AA1, BB1 и CC1 не могут пересекаться в одной точке, поскольку отрезки AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке (точке пересечения высот). Приходим к противоречию.
