Информация о задаче

Задача 78017

Темы:	[	Геометрические неравенства	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны четыре прямые m₁, m₂, m₃, m₄, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A₁ прямой m₁ проводим прямую, параллельную прямой m₄, до пересечения с прямой m₂ в точке A₂, через A₂ проводим прямую, параллельную m₁, до пересечения с m₃ в точке A₃, через A₃ проводим прямую, параллельную m₂, до пересечения с m₄ в точке A₄ и через точку A₄ проводим прямую, параллельную m₃, до пересечения с m₁ в точке B. Доказать, что OB $\le$ ${\frac{OA_1}{4}}$ (см. рис.).

Решение

Пусть $\vec{a}\,$ = $\overrightarrow{OA_1}$ , $\vec{b}\,$ = $\overrightarrow{OA_2}$ , $\vec{c}\,$ = $\overrightarrow{OA_3}$ , $\vec{d}\,$ = $\overrightarrow{OA_4}$ . Выразим эти векторы через e₁ = $\vec{a}\,$ и e₂ = $\vec{d}\,$ . В результате получим

$\displaystyle \vec{b}\,$	= e₁ + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ e₂,
$\displaystyle \vec{c}\,$	= $\displaystyle \vec{b}\,$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ e₁ = (1 - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ )e₁ + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ e₂,
e₂	= $\displaystyle \vec{c}\,$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{}$ $\displaystyle \vec{b}\,$ = (1 - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{}$ )e₁ + ( $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ - $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{3}^{}$ )e₂.

Из последнего равенства вытекают соотношения 1 - $\lambda_{2}^{}$ = $\lambda_{3}^{}$ и $\lambda_{1}^{}$ - $\lambda_{1}^{}$ $\lambda_{3}^{}$ = 1. Наконец, пусть - $\mu$ e₁ = $\overrightarrow{OB}$ . Тогда - $\mu$ e₁ = e₂ - $\lambda_{4}^{}$ $\vec{c}\,$ = - $\lambda_{4}^{}$ (1 - $\lambda_{1}^{}$ ) - $\lambda_{4}^{}$ $\lambda_{1}^{}$ e₂, поэтому $\mu$ = $\lambda_{4}^{}$ (1 - $\lambda_{1}^{}$ ) и $\lambda_{4}^{}$ $\lambda_{1}^{}$ = 1. Учитывая все эти соотношения, получаем $\mu$ = ${\frac{\lambda_3}{\lambda_1}}$ = $\lambda_{3}^{}$ (1 - $\lambda_{3}^{}$ ) $\le$ ${\frac{1}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	2


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	2


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	2