Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78016 (#1)

Тема:

[

Окружность Ферма-Аполлония

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

На двух лучах l₁ и l₂, исходящих из точки O, отложены отрезки OA₁ и OB₁ на луче l₁ и OA₂ и OB₂ на луче l₂; при этом ${\frac{OA_1}{OA_2}}$ $\ne$ ${\frac{OB_1}{OB_2}}$ . Определить геометрическое место точек S пересечения прямых A₁A₂ и B₁B₂ при вращении луча l₂ около точки O (луч l₁ неподвижен).

Прислать комментарий Решение

Задача 78017 (#2)

Темы:	[	Геометрические неравенства	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Даны четыре прямые m₁, m₂, m₃, m₄, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A₁ прямой m₁ проводим прямую, параллельную прямой m₄, до пересечения с прямой m₂ в точке A₂, через A₂ проводим прямую, параллельную m₁, до пересечения с m₃ в точке A₃, через A₃ проводим прямую, параллельную m₂, до пересечения с m₄ в точке A₄ и через точку A₄ проводим прямую, параллельную m₃, до пересечения с m₁ в точке B. Доказать, что OB $\le$ ${\frac{OA_1}{4}}$ (см. рис.).

Прислать комментарий Решение

Задача 78018 (#3)

Тема:

[

Системы алгебраических неравенств

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Сто положительных чисел C₁, C₂, ..., C₁₀₀ удовлетворяют условиям
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78019 (#4)

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Обратный ход	]
	[	Последовательности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Если дан ряд из 15 чисел

a₁, a₂,..., a₁₅, (1)

то можно написать второй ряд

b₁, b₂,..., b₁₅, (2)

где b_i(i = 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших a_i. Существует ли ряд чисел a_i, если дан ряд чисел b_i:

1, 0, 3, 6, 9, 4, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 10, 13, 13?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78020 (#5)

Темы:	[	Деревья	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Дан отрезок OA. Из конца отрезка A выходит 5 отрезков AB₁, AB₂, AB₃, AB₄, AB₅. Из каждой точки B_i могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки O).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]