Информация о задаче

Задача 78051

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

Решение

Ответ: ${\frac{N-1}{N}}$ $\le$ | a| $\le$ ${\frac{M}{M-1}}$ . Числа [x] и [y] различны тогда и только тогда, когда числа [- x] и [- y] различны. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда a > 0. Если a < ${\frac{N-1}{N}}$ , то среди чисел [a], [2a], ..., [Na] есть совпадающие, поскольку эти N чисел содержатся среди N - 1 чисел 0, 1, ..., N - 2. Поэтому a $\ge$ ${\frac{N-1}{N}}$ . Те же самые рассуждения для числа 1/a показывают, что ${\frac{1}{a}}$ $\ge$ ${\frac{M-1}{M}}$ , т.е. a $\le$ ${\frac{M}{M-1}}$ . Покажем, что если ${\frac{N-1}{N}}$ $\le$ a $\le$ ${\frac{M}{M-1}}$ , то все числа [a], [2a], ..., [Na] различны. Действительно, если a $\ge$ 1, то вообще все числа [a], [2a], [3a], ...различны, а если a < 1, то 1 - ${\frac{1}{N}}$ $\le$ a < 1, 2 - ${\frac{2}{N}}$ $\le$ 2a < 2, ..., N - 1 $\le$ Na < N, поэтому [ka] = k - 1 для k = 1, 2, ..., N. Для чисел $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ рассуждения аналогичны.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	5