Условие
Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие
соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются
на продолжении диагонали или параллельны ей.
Решение
При решении этой задачи удобно считать, что четырёхугольник составлен из двух
треугольников, поэтому введём следующие обозначения:
ACBC' — данный
четырёхугольник,
A1 и
B1 — точки касания со сторонами
BC и
AC,
A1' и
B1' — точки касания со сторонами
BC' и
AC',
C1 и
C1'
— точки, в которых прямые
A1B1 и
A1'
B1' пересекают прямую
AB (точки
C1 и
C1' определены лишь в том случае, когда соответствующие прямые не параллельны).
Если
A1B1|
AB, то
AB1 :
BA1 =
B1C :
A1C = 1. Поэтому
AB1 =
BA1, а значит,
AB1' =
BA1', поскольку
AB1 =
AB1' и
BA1 =
BA1'. Таким образом,
A1'
B1'|
AB.
Будем теперь считать, что точки
C1 и
C1' определены; нужно доказать, что
они совпадают. Согласно теореме Менелая
. 
. 
= 1. Учитывая,
что
A1C =
B1C, получаем
AC1 :
C1B =
AB1 :
A1B. Аналогично
AC1' :
C1'
B =
AB1' :
A1'
B. Но
AB1 =
AB1' и
BA1 =
BA1'. Поэтому
AC1 :
C1B =
AC1' :
C1'
B, а значит,
C1 =
C1', поскольку обе эти точки лежат
вне отрезка
AB.
Источники и прецеденты использования
