Задача 78088

Тема:    [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.

Решение

При решении этой задачи удобно считать, что четырёхугольник составлен из двух треугольников, поэтому введём следующие обозначения: ACBC' — данный четырёхугольник, A₁ и B₁ — точки касания со сторонами BC и AC, A₁' и B₁' — точки касания со сторонами BC' и AC', C₁ и C₁' — точки, в которых прямые A₁B₁ и A₁'B₁' пересекают прямую AB (точки C₁ и C₁' определены лишь в том случае, когда соответствующие прямые не параллельны). Если A₁B₁| AB, то AB₁ : BA₁ = B₁C : A₁C = 1. Поэтому AB₁ = BA₁, а значит, AB₁' = BA₁', поскольку AB₁ = AB₁' и BA₁ = BA₁'. Таким образом, A₁'B₁'| AB. Будем теперь считать, что точки C₁ и C₁' определены; нужно доказать, что они совпадают. Согласно теореме Менелая ^{. .} = 1. Учитывая, что A₁C = B₁C, получаем AC₁ : C₁B = AB₁ : A₁B. Аналогично AC₁' : C₁'B = AB₁' : A₁'B. Но AB₁ = AB₁' и BA₁ = BA₁'. Поэтому AC₁ : C₁B = AC₁' : C₁'B, а значит, C₁ = C₁', поскольку обе эти точки лежат вне отрезка AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	4