Задача 78099
|
|
 |
Условие
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая
диагональ минимальна.
Решение
Ответ: квадрат. Пусть a и b — длины сторон параллелограмма, α — острый угол между его сторонами, S — площадь, d — наибольшая диагональ. Тогда d2 = a2 + b2 + 2ab cosα и ab sinα = S. Поэтому d2 ≥ a2 + b2 и ab ≥ S, причём в обоих случаях равенство достигается лишь при α = 90o. Далее, a2 + b2 ≥ 2ab, поэтому d2 ≥ 2S, причём равенство достигается лишь в том случае, когда a = b и α = 90o, т.е. когда параллелограмм является квадратом.
