Условие
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая
диагональ минимальна.
Решение
Ответ: квадрат.
Пусть
a и
b — длины сторон параллелограмма, α — острый угол между его сторонами,
S — площадь,
d — наибольшая диагональ. Тогда
d2 =
a2 +
b2 + 2
ab cosα и
ab sinα =
S. Поэтому
d2 ≥
a2 +
b2 и
ab ≥
S, причём в обоих случаях равенство достигается лишь при
α = 90
o. Далее,
a2 +
b2 ≥ 2
ab, поэтому
d2 ≥ 2
S, причём равенство достигается лишь в том случае, когда
a =
b и
α = 90
o, т.е. когда параллелограмм является квадратом.
Источники и прецеденты использования
