|
|
 |
Условие
Плоский многоугольник
A1A2...An составлен из n твёрдых стержней,
соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать
в треугольник.
Решение
Пусть a — наибольшая сторона данного многоугольника (если наибольших сторон несколько, то мы выбираем любую из них). Рассмотрим часть многоугольника, которая остаётся после выбрасывания стороны a, и возьмём точку, которая делит пополам периметр этой части. Если эта точка является вершиной многоугольника, то мы очевидным образом деформируем этот многоугольник в равнобедренный треугольник. Предположим теперь, что эта точка лежит на стороне b, а периметры частей многоугольника, заключённых между сторонами a и b, равны x и y. Тогда x + b ≥ y и y + b ≥ x. Если, например, x = 0, то мы можем составить треугольник из отрезков a, b, y. Поэтому будем считать, что x, y ≠ 0. Предположим, что треугольник нельзя составить ни из отрезков a, x, y + b, ни из отрезков a, y, x + b. Отрезок короче соединяющей его концы ломаной, поэтому a < x + y + b. Кроме того, есть неравенства x + b ≥ y и y + b ≥ x. Значит, должны выполняться неравенства a + x ≤ y + b и a + y ≤ x + b (чтобы нельзя было составить треугольник со сторной y + b или x + b). Поэтому x = y и a ≤ b. Но по предположению a ≥ b, значит, a = b. По условию число сторон многоугольника больше 4. Поэтому одна из ломаных длины x состоит из двух частей периметра x1 и x2. Легко проверить, что из отрезков длины x, a + x1, a + x2, где x1 + x2 = x, можно составить треугольник.
