Условие
Плоский многоугольник
A1A2...
An составлен из
n твёрдых стержней,
соединенных шарнирами. Доказать, что если
n > 4, то его можно деформировать
в треугольник.
Решение
Пусть
a — наибольшая сторона данного многоугольника (если наибольших сторон несколько, то мы выбираем любую из них). Рассмотрим часть
многоугольника, которая остаётся после выбрасывания стороны
a, и возьмём
точку, которая делит пополам периметр этой части. Если эта точка является
вершиной многоугольника, то мы очевидным образом деформируем этот многоугольник
в равнобедренный треугольник. Предположим теперь, что эта точка лежит на
стороне
b, а периметры частей многоугольника, заключённых между сторонами
a и
b, равны
x и
y. Тогда
x +
b ≥
y и
y +
b ≥
x. Если, например,
x = 0, то мы можем составить треугольник из отрезков
a,
b,
y. Поэтому будем считать, что
x,
y ≠ 0. Предположим, что треугольник нельзя составить ни из отрезков
a,
x,
y +
b, ни из отрезков
a,
y,
x +
b. Отрезок короче соединяющей его концы ломаной, поэтому
a <
x +
y +
b. Кроме того, есть неравенства
x +
b ≥
y и
y +
b ≥
x. Значит, должны выполняться неравенства
a +
x ≤
y +
b и
a +
y ≤
x +
b (чтобы нельзя было составить треугольник со сторной
y +
b или
x +
b). Поэтому
x =
y и
a ≤
b. Но по предположению
a ≥
b, значит,
a =
b. По условию число сторон многоугольника больше 4. Поэтому одна из ломаных длины
x состоит из двух частей периметра
x1 и
x2. Легко проверить, что
из отрезков длины
x,
a +
x1,
a +
x2, где
x1 +
x2 =
x, можно составить треугольник.
Источники и прецеденты использования
